Ensembles de Julia

Ce sont les ensembles des points du plan complexe :
Z = R + i.I
tels que la suite des Zn avec Zn+1 = Zn.Zn + C ne diverge pas quand n tend vers l'infini.
Pour C = 0, la suite est :
z, z2, z4, z8...
Si z <1, la suite converge vers 0; pour z>1 elle converge vers l'infini et pour z = 1 la suite est une série de 1. Le cercle de rayon 1 est la frontière entre les deux domaines.

Pour C complexe on retrouve ces trois possibilités sauf que la frontière n'est pas un cercle mais, une courbe fractale. L'ensemble de Julia est la frontière de la convergence vers l'infini quand on parcourt le plan complexe.
Il existe un ensemble différent pour chaque valeur de C et donc une infinité d'ensembles de Julia.
Compte tenu de la définition, il existe des liens étroits entre les ensembles de Julia et l'ensemble de Mandelbrot.

Quand on parcourt le plan commplexe dans une représentation discrète, on attribue la couleur noire aux pixels appartenant à l'ensemble et la couleur blanche aux autres.

Comme la convergence vers une valeur finie peut être longue à se reveler, on définit une profondeur d'analyse maximale P. Si N est le nombre  d'itérations effectuées avant que la divergence soit constatée ou que la valeur P soit atteinte, la couleur attribuée au pixel est proportionnelle au rapport N/P. noir si N / P = 1 et blanc si N / P = 0.

Il est aussi possible d'attribuer au pixel une couleur arbitraire fonction du nombre d'itérations effectuées avant sortie de la boucle ou l'on constate la divergence.

Si le point choisi appartient au bulbe principal de l'ensemble de Mandelbrot, l'ensemble de Julia comporte un seul morceau. S'il est extérieur, l'ensemble de Julia est constitué de morceaux d'autant plus petits et plus nombreux que le point est éloigné.


Utilisation :
L'ensemble est étudié dans le domaine :
−1,75 < X < 1,75 et −1,75 < Y < 1,75.
Comme tous les ensembles admettent l'origine comme centre de symétrie, cette propriété est utilisée pour diminuer la durée du tracé. La résolution est de 500 * 500 pixels (125 000 points calculés pour chaque tracé).
Une zone de texte permet de choisir la profondeur d'analyse. Les deux autres permettent de choisir les parties réelle et imaginaire de C.
Vérifier que pour C = 0, l'ensemble est le cercle de rayon 1.

Exemples de valeurs à tester (profondeur 100 à 200) : (Faire varier C autour des valeurs indiquées)
− 0,56 + 0,395i ; − 0,56 + 0,645i ; − 0,514 + 0,58i ; − 0,4 + 0,582i ; 0,32 + 0,035.i
 0,44 + 0.25i ; −0.10 + 0.65.i; 0,285 + 0,01.i; −1,414; −0.10 +0.75.....