Représentation de Fresnel de la puissance


Représentation  de Fresnel :
Représentation classique :
Dans la représentation de Fresnel, on associe à la grandeur scalaire x(t) = A.cos(ω.t ) un vecteur V qui tourne autour de l'origine avec la vitesse angulaire constante ω.
La grandeur physique étudiée est la projection de ce vecteur sur l'axe Ox.
Attention :
Dans le cas où les grandeurs étudiées sont des grandeurs vectorielles, les vecteurs tournants de la représentation de Fresnel représentent l'évolution des amplitudes au cours du temps. Ils ne correspondent pas à la direction des vibrations. Quand on étudie les phénomènes d'interférences optiques, les vibrations qui peuvent interférer ont la même direction de vibration.

Autre représentation :
Il est aussi possible de considérer que la grandeur est la projection sur Ox de la somme de deux vecteurs d'amplitude A / 2   qui tournent autour de l'origine avec les vitesses angulaires constantes ω et  −ω.  
Cette façon de faire peut sembler artificielle mais c'est la traduction géométrique de la relation :
cos( a ) = ½( e ja + e −ja )


Représentation  de la puissance :

On pose u =√ 2U.cos(ω.t ) , i =√ 2I.cos(ω.t  + φ) et p = 2U.I.cos(ω.t  + φ) . ( U et I sont les valeurs efficaces de u et i ).
A la grandeur p, on associe le vecteur tournant OA qui fait avec l'axe Ox l'angle (ωt  + φ).
On décompose OA en OB et OC deux vecteurs de norme U.I
OB tourne autour de OA avec la vitesse angulaire ω et OC tourne autour de OA avec la vitesse angulaire − ω.
OB fait donc avec l'axe Ox l'angle (2.ω.t  + φ) et OC fait donc avec l'axe Ox l'angle constant  φ.

OB est la puissance fluctuante, OC la puissance apparente, sa projection OD = U.I.cos( φ) sur Ox est la puissance active enfin sa projection sur Oy est la puissance réactive.

Rappel
On peut aussi écrire u =( 2−½).U( e jωt + e−jωt), i =( 2−½).I( e j(ω.t + φ) + e− j(ω.t + φ))
Soit : p = u.i = ½.U.I.( e j(2ω.t +φ) + e− j(2ω.t +φ) + e j(φ)+ e −j(φ)).
Et : p = u.i = [U.I. cos(2.ωt  + φ) + U.I.cos( φ)].
On obtient les expressions analytiques de la puissance fluctuante et de la puissance active.